Dado un espacio topológico de Khalimsky (para abreviar, -), el presente artículo examina si existen algunas relaciones entre la contractibilidad de y la existencia de la propiedad del punto fijo de . Basándonos en una -homotopía para espacios topológicos -, primero demostramos que un -homeomorfismo preserva una -homotopía entre dos aplicaciones -continuas. Así, obtenemos que un -homeomorfismo preserva la -contractibilidad. Además, el presente artículo demuestra que cada curva simple cerrada en el espacio topológico -dimensional -, no es -contractible. Esta característica juega un papel importante en la teoría de puntos fijos para espacios topológicos -. Además, dado un espacio topológico -, después de desarrollar la noción de -contractibilidad relativa a cada conjunto unitario , primero la comparamos con el concepto de -contractibilidad de . Finalmente, demostramos que la -contractibilidad no implica la -contractibilidad relativa a cada conjunto unitario . Además, abordamos ciertas conjeturas que involucran la propiedad del punto fijo (casi) en las categorías y , donde (ver Sección 3) (ver Sección 5)) denota la categoría de espacios topológicos (-) , los espacios -) son subgráficos de los gráficos de conexidad de la -topología en .