En este trabajo, desarrollamos un método novedoso para construir secuencias de Goethals-Seidel (GS) con estructuras especiales. En los métodos existentes, utilizar secuencias de Turyn es un enfoque efectivo y conveniente; sin embargo, este método no puede cubrir todas las secuencias de GS. Motivados por esto, nos dedicamos a diseñar algunas secuencias que potencialmente puedan construir todas las secuencias de GS. En primer lugar, se demuestra que un cuarteto de polinomios puede considerarse una combinación lineal de ocho polinomios con coeficientes pertenecientes de forma única a . Basándonos en este hecho, cambiamos la construcción de un cuarteto de secuencias de Goethals-Seidel para encontrar ocho secuencias que consisten en 0 y . Otra motivación es obtener estas secuencias de manera más eficiente. Para ello, hacemos uso del -bloque, del cual se discuten algunas propiedades de (anti) simetría. Después de esto, podemos buscar las secuencias con la ayuda de computadoras ya que las propiedades de simetría facilitan la reducción del rango de búsqueda. Además, encontramos que uno de los ocho bloques, que utilizamos para construir secuencias de GS directamente, también se puede combinar con secuencias de Williamson para generar secuencias de GS con más orden. Se proporcionan varios ejemplos para verificar los resultados teóricos. La principal contribución de este trabajo radica en construir un puente que vincula las secuencias de GS y ocho polinomios, y el documento también proporciona una nueva perspectiva a través de la cual considerar la existencia de secuencias de GS.