Se propone una nueva álgebra de Lie tridimensional y su álgebra de bucle, cuyo conmutador es un producto vectorial. A partir de esto, se obtiene un flujo positivo y un flujo negativo mediante la introducción de un nuevo tipo de problema espectral expresado por el producto vectorial, que se reduce a una ecuación KdV generalizada, una ecuación de Schrödinger generalizada, una ecuación de Gordon del seno y una ecuación de Gordon del seno hiperbólico.