Este documento está dedicado a la unicidad de las soluciones para una clase de ecuaciones en derivadas parciales estacionarias no homogéneas relacionadas con ecuaciones de tipo Hamilton-Jacobi en espacios de Hilbert de dimensión infinita. Específicamente, la unicidad de la solución de viscosidad se establece empleando el enfoque de inf/sup-convolución en un espacio de Hilbert de dimensión infinita separable. La prueba se basa en el método aproximado de Faedo-Galerkin asumiendo la existencia de un operador de Hilbert-Schmidt y empleando argumentos de continuidad de módulos y Lipschitz. Los resultados son de interés con respecto al problema de control óptimo estocástico.