Esta revisión considera funciones polinómicas por partes, que desde hace mucho tiempo se sabe que son una herramienta útil y versátil en el análisis numérico, para resolver problemas que tienen soluciones con características irregulares, como gradientes pronunciados y comportamiento oscilatorio. Ejemplos de funciones polinómicas por partes utilizadas incluyen splines, en particular B-splines, y funciones de Hermite. Las funciones spline son útiles para obtener aproximaciones globales mientras que las funciones de Hermite son útiles para la aproximación sobre elementos finitos. Nuestro objetivo en esta revisión es estudiar funciones de Hermite quínticas y desarrollar un esquema de colocación numérica para resolver EDOs y EDPs. Esta elección de funciones de base está además motivada por el hecho de que estamos interesados en resolver problemas que tienen soluciones con gradientes pronunciados y propiedades oscilatorias, para las cuales esta base de aproximación parece ser una elección adecuada. Derivamos la base de Hermite quíntica y la utilizamos para formular el método de colocación ortogonal en elementos finitos (OCFE). Presentamos el análisis de error para EDOs de tercer orden y derivamos tanto límites de error globales como nodales para ilustrar la propiedad de superconvergencia en los nodos. Se realizan simulaciones numéricas utilizando el lenguaje de programación Julia tanto para EDOs como para EDPs y mejoran los resultados teóricos.