La fórmula de Gauss-Bonnet encuentra aplicaciones en varios campos fundamentales. El análisis global o local basado en esta fórmula solo es posible en forma integral ya que la fórmula de Gauss-Bonnet depende de la elección de una región simple de una superficie suave orientable. El objetivo del presente artículo es construir una relación diferencial de las propiedades métricas relacionadas en un punto en. El análisis puntual en es posible a través de la relación diferencial, la cual se espera que proporcione nuevas ideas geométricas en estudios existentes donde se aplica la fórmula de Gauss-Bonnet en forma integral.