Analizamos un paseo aleatorio en tiempo discreto sobre los vértices de una red L bidimensional no acotada. Determinamos la función generadora de probabilidades y demostramos la independencia de las coordenadas. En particular, encontramos una relación de cada componente con un paseo aleatorio sesgado unidimensional con tiempo variable. Por lo tanto, se pueden obtener las probabilidades de transición y los momentos principales del paseo aleatorio. Se estudia el comportamiento asintótico del proceso, tanto en el sentido clásico como involucrando la teoría de grandes desviaciones. Investigamos problemas de tiempo de primer paso del paseo aleatorio a través de ciertas líneas rectas, y determinamos las probabilidades relacionadas en forma cerrada y otras características de interés. Finalmente, desarrollamos un enfoque de simulación para estudiar el problema de primer salida del proceso a través de elipses.