En este documento, nuestro objetivo principal es presentar una extensión razonable de la integral de Lebesgue de 1 dimensión del producto de dos funciones, en caso de que esta integral de Lebesgue no exista (es decir, las integrales de sus partes negativa y positiva son ambas ). Esta extensión funciona bastante bien en general, como se muestra en varios ejemplos, y se basa en hipótesis generales que garantizan el signo de la integral (en el sentido de ser necesariamente 0), sin calcular su valor real. Para este propósito, nuestro método proporciona resultados mucho más precisos que la integración por partes de Lebesgue-Stieltjes.