Nuestro punto de partida es una desigualdad integral que involucra funciones convexas, cóncavas y monótonamente crecientes. Proporcionamos algunas interpretaciones de la desigualdad, en términos de probabilidad y de funcionales lineales, a partir de las cuales generamos funciones completamente monótonas y medias. Esta última aplicación se ve desde la perspectiva de la monotonía y la convexidad.