Se estudian ecuaciones cuasilineales en espacios de Banach con derivadas fraccionarias distribuidas de Gerasimov-Caputo, que están definidas por integrales de Riemann-Stieltjes, y con un operador lineal cerrado. Se consideran los problemas de solubilidad única del problema de Cauchy para dichas ecuaciones. Bajo la condición de continuidad de Lipschitz en las variables de fase y dos tipos de continuidad sobre todas las variables de un operador no lineal en la ecuación, obtenemos dos versiones de un teorema sobre la existencia no local de una solución única. Se demuestran dos versiones similares de solubilidad única local del problema de Cauchy bajo la condición de continuidad local de Lipschitz para el operador no lineal. Los resultados generales se utilizan para el estudio de un problema de valores iniciales en la frontera para una generalización del sistema de ecuaciones de campo de fase no lineal con derivadas distribuidas con respecto al tiempo.