Sugerimos una nueva formulación del problema espectral inverso para operadores de tipo Sturm-Liouville con retardo constante. Este problema inverso consiste en recuperar el coeficiente (a menudo denominado potencial) del término retardado en la ecuación correspondiente a partir de los espectros de dos problemas de valor en la frontera con una condición de frontera común. Sin embargo, los estudios anteriores se centran principalmente en el caso de una función inicial cero, es decir, explotan la suposición de que el potencial se anula en el subintervalo correspondiente. En el presente artículo, renunciamos a esa suposición a favor de una función inicial continuamente coincidente, lo que lleva a la aparición de un término adicional con un argumento congelado en la ecuación. Para el nuevo problema inverso resultante, prestamos especial atención a la situación en la que uno de los espectros se da solo parcialmente. Se obtienen condiciones suficientes y necesarias sobre el subespectro correspondiente para la determinación única del potencial, y se proporciona un procedimiento constructivo para resolver el problema inverso. Además, obtenemos la caracterización de los espectros para la función inicial cero y la condición de frontera común de Neumann, que se encuentra que incluye una restricción adicional en comparación con el caso de la condición común de Dirichlet.