Las superficies de Weingarten son aquellas cuyas curvaturas principales cumplen una relación funcional, cuyo conjunto de soluciones se llama diagrama de curvatura o diagrama W de la superficie. Utilizando la noción de una curva plana, proponemos un nuevo enfoque para el estudio de las superficies de Weingarten rotacionales en el espacio euclidiano 3. Nuestra contribución consiste en reducir cualquier tipo de condición de Weingarten en una superficie rotacional a una ecuación diferencial de primer orden en el momento de la curva generatriz. En esta línea, proporcionamos dos nuevos resultados de clasificación que involucran una cúbica y una hipérbola en el diagrama W de la superficie caracterizando, respectivamente, las superficies cuádricas no degeneradas de revolución y las superficies rotacionales generadas por la rotación de las curvas elásticas de Euler alrededor de su línea directriz. Como otra aplicación de nuestro enfoque, abordamos el problema de prescribir la curvatura media o de Gauss en superficies rotacionales en términos de funciones continuas arbitrarias que dependen de la distancia desde la superficie hasta el eje de revolución. Como consecuencia, proporcionamos nuevas pruebas simples de algunos resultados clásicos sobre superficies rotacionales, como el teorema de Euler sobre las superficies mínimas, el teorema de Delaunay sobre las superficies de curvatura media constante y el teorema de Darboux sobre las superficies de curvatura de Gauss constante.