Proporcionamos una construcción canónica de los números naturales en el universo de conjuntos. Luego, el conjunto de partes de los números naturales recibe la estructura del sistema de números reales. Para esto, demostramos que la topología co-finita es isomorfa a los números naturales. Después, demostramos que el conjunto de partes de los enteros contiene un subconjunto isomorfo a los números reales no negativos, con todas sus estructuras definitorias de operaciones y orden. Utilizamos estos resultados para dar al conjunto de partes la estructura del sistema de números reales. Damos reglas simples para calcular la suma, multiplicación, resta, división, potencias y potencias racionales de los números reales, y logaritmos. Las funciones de supremo e ínfimo se construyen explícitamente, también. La Sección 6 contiene los resultados principales. Proponemos una nueva base axiomática para el análisis, que representa los números reales como conjuntos de números naturales. Respondemos al problema de identificación de Benacerraf dando una representación canónica de los números naturales, y luego de los números reales, en el universo de conjuntos. En la última sección, proporcionamos una serie de representaciones gráficas y modelos físicos del sistema de números reales. Concluimos que el sistema de números reales está completamente definido por la estructura de orden de los números naturales y las operaciones en el universo de conjuntos.