En este trabajo, diseñamos un nuevo método de tipo Newton de tercer orden y establecemos su teoría de convergencia para encontrar las soluciones aproximadas de ecuaciones de operadores no lineales en el contexto de espacios de Banach. Primero, discutimos el análisis de convergencia de nuestro método de tipo Newton de tercer orden bajo la condición de -continuidad. Luego aplicamos nuestro enfoque para resolver problemas de puntos fijos no lineales y ecuaciones integrales de Fredholm, donde la primera derivada de un operador involucrado no necesariamente satisface las condiciones de continuidad de Hölder y Lipschitz. Se presentan varios ejemplos numéricos que comparan la aplicabilidad de nuestra teoría de convergencia con las existentes en la literatura.