Este documento está dedicado al tratamiento numérico de ecuaciones integrales de Fredholm bidimensionales, definidas en dominios curvilíneos generales del plano. Se propone un método de Nyström, basado en una fórmula de cuadratura tipo Gauss adecuada, recientemente propuesta en la literatura. Se demuestra la convergencia, estabilidad y buena condición del método en subespacios adecuados de funciones continuas de tipo Sobolev. La fórmula de cuadratura, en la que se basa el método de Nyström, tiene un error que se comporta como la mejor aproximación polinómica de la función integranda. En consecuencia, también se muestra cómo el método de Nyström hereda esta propiedad y, por lo tanto, la estrategia numérica propuesta es rápida cuando las funciones conocidas involucradas son suaves. Algunos ejemplos numéricos ilustran la eficacia del método, también en comparación con otros métodos conocidos en la literatura.