Sea un cuarteto de campos de números cúbicos cíclicos que comparten un conductor común divisible exactamente por tres primos (potencias). Para aquellos componentes del cuarteto cuyo grupo de clase 3 es bicíclico elemental, el grupo de automorfismos de la máxima extensión metabeliana no ramificada de 3 está determinado por las condiciones para los símbolos de residuos cúbicos entre y para ideales principales ambiguos en subcampos del campo de género absoluto común de todos los . Con la ayuda de la relación de rango, se decide si coincide con el grupo de Galois de la máxima extensión pro-3 no ramificada de .