Presentamos una introducción sistemática a una clase de funciones que proporcionan soluciones fundamentales para ecuaciones diferenciales lineales autónomas de orden entero y de orden fraccionario con retraso. Estas funciones, denominadas funciones de retraso, se definen a través de series de potencias o series de potencias fraccionarias, con retrasos incorporados en sus representaciones de series. Utilizando este enfoque, hemos definido funciones exponenciales de retraso, funciones trigonométricas de retraso y funciones de Mittag-Leffler fraccionarias de retraso, entre otras. Obtuvimos las transformadas de Laplace de las funciones de retraso y demostramos cómo pueden emplearse para encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales con retraso. Nuestros resultados, que amplían y unifican trabajos anteriores, ofrecen un marco consistente para definir y utilizar funciones de retraso.