Este manuscrito trata de dos integrales definidas que podrían estar conectadas con las funciones de Bose-Einstein y de Fermi-Dirac en los integrandos, respectivamente, con numeradores ligeramente modificados con una diferencia en dos expresiones que contienen el núcleo de Fourier multiplicado por un polinomio y su conjugado complejo. En este trabajo, utilizamos nuestro método de integral de contorno para derivar estas integrales definidas, que se dan en términos de la función Lerch. Utilizamos estas dos integrales definidas para derivar fórmulas de Erdélyi y Watson. Derivamos casos especiales de estas integrales en términos de funciones especiales no encontradas en la literatura actual. Las funciones especiales tienen la propiedad de la continuación analítica, lo que amplía el rango de cálculo de las variables involucradas.