Se demuestra la existencia y unicidad de una solución local para el problema de tipo Cauchy incompleto para ecuaciones diferenciales fraccionarias cuasilineales de varios términos en espacios de Banach con derivadas de Riemann-Liouville y operadores acotados en ellos. Se asume que la no linealidad en la ecuación es Lipschitz continua y dependiente de derivadas fraccionarias de orden inferior, cuyos órdenes tienen la misma parte fraccionaria que el orden de la derivada fraccionaria más alta. El resultado abstracto obtenido se aplica para estudiar una clase de problemas de valor inicial-límite para ecuaciones de orden fraccional en el tiempo con polinomios de un operador diferencial autoadjunto elíptico con respecto a variables espaciales como operadores lineales en las derivadas de orden fraccional en el tiempo. Se asume que el operador no lineal en las ecuaciones diferenciales parciales consideradas es suave con respecto a las variables de fase.