En este trabajo, nuestro objetivo es obtener condiciones para asegurar la aproximación polinómica en espacios de Hilbert, con una medida de soporte compacto en el plano complejo, en términos de propiedades de la matriz de momentos asociada con la medida. Para hacerlo, en el contexto más general de las matrices semidefinidas positivas hermitianas, introducimos dos índices, y , asociados con diferentes problemas de optimización relacionados con estas matrices. Nuestro resultado principal es una caracterización de la densidad de polinomios en el caso de medidas soportadas en curvas de Jordan con interior no vacío utilizando el índice y otro índice específico relacionado con él. Además, proporcionamos un nuevo punto de vista de las evaluaciones de puntos acotados asociados con una medida en términos del índice que nos permitirá dar una prueba alternativa del teorema de Thomson, utilizando estos índices de matriz. Destacamos que nuestras técnicas se basan en herramientas de álgebra matricial en el marco de matrices definidas positivas hermitianas y en el cálculo de ciertos índices relacionados con algunos problemas de optimización para matrices infinitas.