Es bien sabido que en matemáticas, el producto de dos polinomios es igual al producto de su máximo común divisor y su mínimo común múltiplo. En un artículo reciente, demostramos una relación similar entre los rangos de los polinomios de matriz. Más precisamente, la suma de los rangos de dos polinomios de matriz es igual a la suma del rango del máximo común divisor de los polinomios aplicados a la matriz respectiva y el rango del mínimo común múltiplo de los polinomios aplicados a la matriz respectiva. En este artículo, presentamos tres nuevas demostraciones para este resultado. Además de estas, presentamos dos aplicaciones más.