Presentamos transformaciones recíprocas para los problemas espectrales de las ecuaciones de Korteveg de Vries (KdV) y de Korteveg de Vries modificada (mKdV). Las ecuaciones resultantes, RKdV (KdV recíproca) y RmKdV (mKdV recíproca), están conectadas a través de una transformación que combina tanto transformaciones de Miura como recíprocas. Los pares de Lax para RKdV y RmKdV se obtienen directamente mediante las mencionadas transformaciones recíprocas. También hemos identificado las simetrías clásicas de Lie para los pares de Lax de RKdV y RmKdV. Se calculan reducciones de similitud no triviales y generan ecuaciones diferenciales ordinarias (ODEs) no autónomas, cuyos pares de Lax se obtienen como consecuencia de las reducciones.