Presentamos una distribución de renovación estacionaria generalizada (también llamada transformación de equilibrio) para distribuciones arbitrarias con un primer momento finito distinto de cero y estudiamos sus propiedades. En particular, demostramos una desigualdad óptima de tipo momento para la distancia de Kantorovich entre una distribución y su transformación de equilibrio. Utilizando la transformación introducida y el método de Stein, investigamos la tasa de convergencia en el teorema de Rényi para las distribuciones de sumas geométricas de variables aleatorias independientes con medias no nulas idénticas y segundos momentos finitos sin restricciones en sus soportes. Derivamos una cota superior para la distancia de Kantorovich entre la suma aleatoria geométrica normalizada y la distribución exponencial que tiene un orden exacto de pequeñez a medida que la esperanza del número geométrico de sumandos tiende a infinito. Además, introducimos la llamada constante asintóticamente mejor y presentamos su cota inferior que produce la de la distancia de Kantorovich en consideración. Como observación final, proporcionamos una extensión de las estimaciones obtenidas de la precisión de la aproximación exponencial a sumas aleatorias no geométricas de variables aleatorias independientes con medias no nulas no idénticas.