Presentamos un estudio sistemático sobre los efectos de la transferencia dinámica y la sincronización en estado estacionario de estados cuánticos en una red optomecánica híbrida que consiste en dos cavidades, las cuales contienen átomos en su interior e interactúan a través de un espejo móvil común, como el oscilador mecánico. Se encontró que es posible lograr una transferencia de alta fidelidad de los estados de gato de Schrödinger y estados comprimidos entre los modos de las dos cavidades. Por otro lado, demostramos el efecto de sincronización de los modos de la cavidad en un estado comprimido estacionario con su alta fidelidad lograda por el oscilador mecánico que intermedia la generación, transferencia y estabilización de la compresión. En este marco, también estudiamos la generación y evolución de entrelazamiento bipartito y tripartito y encontramos su conexión con los efectos de la transferencia y sincronización de estados cuánticos. En particular, cuando la transferencia ocurre con la máxima fidelidad, cualquier entrelazamiento es casi cero, por lo que los diferentes modos de las cavidades están desentrelazados. Sin embargo, estos modos se entrelazan cuando los dos modos bosónicos se sincronizan en un estado comprimido estacionario. Los resultados proporcionados por el estudio actual pueden encontrar aplicaciones en tecnologías de la información cuántica, además de en configuraciones para metrología, donde los estados comprimidos son esenciales.