Este documento es uno de una serie en la que generalizamos nuestros resultados anteriores sobre la equivalencia de la existencia de métricas extremales de Calabi a la estabilidad geodésica para cualquier tipo I de variedades complejas compactas casi homogéneas de cohomogeneidad uno. En este documento, llevamos a cabo todos los resultados anteriores a los casos de tipo I. En la Parte II, obtuvimos una cantidad sustancial de nuevas variedades Kähler-Einstein, así como variedades de Fano sin métricas Kähler-Einstein. En particular, aplicando el Teorema 15 allí, obtuvimos resultados completos en los Teoremas 3 y 4 en ese documento. Sin embargo, solo tenemos resultados parciales en el Teorema 5. En esta nota, proporcionamos un informe sobre el progreso reciente en las variedades de Fano cuando y cuando. Proporcionamos dos imágenes para estas dos clases de variedades. Consulte los Teoremas 1 y 2 en la última sección. Además, presentamos dos conjeturas. Una vez resolvamos estas dos conjeturas, la cuestión para estas dos clases de variedades estará completamente resuelta. Aplicando nuestros resultados a los haces canónicos de círculo, también obtenemos variedades Sasakian con o sin métricas Sasakian-Einstein. Estos también proporcionan variedades de Calabi-Yau abiertas.