Estudiamos los lugares de Terracini de una variedad irreducible incrustada en un espacio proyectivo: no vacuidad, dimensiones y la geometría de los componentes irreducibles de su dimensión máxima. Estos lugares fueron estudiados porque describen dónde la diferencial de un mapa geométrico importante pierde rango. Nuestros mejores resultados son si es o bien una incrustación de Veronese de un espacio proyectivo de dimensión arbitraria (la configuración para la descomposición aditiva de polinomios homogéneos) o una incrustación de Segre-Veronese de un espacio multiproyectivo (la configuración para tensores parcialmente simétricos). Para un arbitrario , damos varios ejemplos en los que todos los lugares de Terracini están vacíos, varios criterios para la no vacuidad y ejemplos con el defecto máximo posible a priori de un elemento de un lugar de Terracini mínimo. Planteamos algunas preguntas abiertas.