Proponemos un nuevo enfoque para extender la noción de conmutador y álgebra de Lie a álgebras con leyes de multiplicación ternarias. Nuestro enfoque se basa en la asociatividad ternaria de los tipos primero y segundo. Proponemos un conmutador ternario, que es una combinación lineal de seis productos triples (todas las permutaciones de tres elementos). Los coeficientes de esta combinación lineal son las raíces cúbicas de la unidad. Encontramos una identidad para el conmutador ternario que se cumple debido a la asociatividad ternaria del primer o segundo tipo. La forma de esta identidad está determinada por las permutaciones del grupo afín general. Consideramos esta identidad como un análogo ternario de la identidad de Jacobi. Basándonos en los resultados obtenidos, introducimos el concepto de un álgebra de Lie ternaria en raíces cúbicas de la unidad y proporcionamos ejemplos de tales álgebras construidas usando multiplicaciones ternarias de matrices rectangulares y tridimensionales. También destacamos la conexión entre las constantes de estructura de un álgebra de Lie ternaria con tres generadores y una representación irreducible del grupo de rotación. Se propone la clasificación de álgebras de Lie ternarias bidimensionales en raíces cúbicas de la unidad.