Es bien sabido que la Teoría de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF), a pesar de su utilidad como teoría fundacional para las matemáticas, tiene dos características no deseadas: no se puede escribir explícitamente debido a sus infinitos axiomas, y tiene un modelo contable debido al teorema de Löwenheim-Skolem. Este artículo presenta los axiomas que se deben aceptar para deshacerse de estas dos características. Para ello, se formulan unos veinte axiomas en un lenguaje de primer orden no clásico con un número contable de constantes: a esta colección de axiomas se le asocia un universo de discurso que consiste en una clase de objetos, cada uno de los cuales es un conjunto, y una clase de flechas, cada una de las cuales es una función. Los axiomas de ZF se derivan de este esquema de axiomas finitos, y se muestra que no tiene un modelo contable, si es que tiene un modelo en absoluto. Además, se demuestra que los axiomas de la teoría de categorías se cumplen: por lo tanto, el presente universo puede servir como base ontológica para la teoría de categorías. Sin embargo, no se ha investigado si alguna de las propiedades de solidez y completitud se cumplen para la teoría presente: la conclusión inevitable es, por lo tanto, que solo una investigación adicional puede establecer si los resultados presentes constituyen de hecho un avance en los fundamentos de las matemáticas.