En este documento, estudiamos la Teoría extendida de Hamilton-Jacobi en el contexto de sistemas dinámicos con simetrías. Dada una acción de un grupo de Lie en una variedad y un campo vectorial invariante en , construimos soluciones completas de la ecuación de Hamilton-Jacobi (HJE) relacionadas con (y una fibración dada en ). Lo hacemos a lo largo de cada subconjunto abierto , de modo que tenga una estructura de variedad y , la restricción de la proyección canónica en , sea una sumersión sobreyectiva. Si no es vertical con respecto a , mostramos que tales soluciones completas resuelven las ecuaciones de reconstrucción relacionadas con y , es decir, las ecuaciones que nos permiten escribir las curvas integrales de en términos de las de su proyección en . Por otro lado, si es vertical, demostramos que tales soluciones completas pueden ser utilizadas para construir (alrededor de algunos puntos de ) las curvas integrales de hasta cuadraturas. Para hacerlo, damos, para algunos elementos del álgebra de Lie de , una expresión explícita hasta cuadraturas de la curva exponencial , diferente a la que aparece en la literatura para grupos de Lie de matrices. En el caso de grupos de Lie compactos y semisimples, mostramos que tal expresión de es válida para todos dentro de un subconjunto denso abierto de .