Basándose en la segunda derivada, este documento establece directamente la teoría del grado de coincidencia de un sistema periódico no lineal de Sturm-Liouville (SL). Como aplicaciones, estudiamos la existencia de soluciones periódicas para el sistema S-L con algunas funciones no lineales especiales aplicando el teorema de continuidad de Mawhin. Se proporcionan algunos ejemplos y simulaciones para inspeccionar la corrección y disponibilidad de los principales hallazgos.