Un grafo difuso se dice que tiene un conjunto de árboles como su cubierta arbórea si todos los vértices están en su unión. El árbol de peso máximo en la cubierta arbórea se asume como el costo de una cubierta arbórea para un grafo difuso. Para un entero , encontrar un conjunto de árboles para cubrir todos los vértices de un grafo con el costo mínimo y con el máximo número de árboles de expansión se conoce como el problema de la cubierta de árbol -árbol. Combinar el concepto de cubierta de árbol y el problema de ubicación de instalaciones en un entorno difuso para resolver problemas críticos de la vida real en la era actual es un enfoque más fructífero. Este problema nos inspira fuertemente a desarrollar un modelo con un algoritmo práctico. Este documento proporciona un algoritmo y un análisis de complejidad para determinar el número de árboles enraizados que cubren el grafo difuso dado. Además, se construye un modelo con tres problemas de programación de optimización en el problema de ubicación de instalaciones y la cubierta de árboles de grafos difusos. El modelo incluye dos tipos de problemas de ubicación de instalaciones, abordando simultáneamente un radio de cobertura variable y un radio de cobertura fijo. Se proporciona un ejemplo numérico para describir más a fondo el modelo, luego, en la parte de aplicación del documento, el modelo propuesto se aplica para resolver el problema de la vida real de maximizar la saturación de la demanda al minimizar el número de pequeñas denominaciones en el sistema bancario indio. Este problema implica la entrada de datos de diferentes indicadores en el sistema bancario junto con detalles de las denominaciones de los billetes.