Consideramos una secuencia de variables aleatorias i.i.d., , , , y la subordinamos mediante un proceso de Poisson doblemente estocástico , donde es una variable aleatoria y es un proceso de Poisson estándar. El proceso continuo subordinado en tiempo es conocido como el proceso PSI. Se supone que los elementos del triplete son independientes. Para sumas de , copias independientes de tales procesos, normalizadas por , establecemos un teorema límite funcional en el espacio de Skorokhod, para cualquier , bajo la suposición para algún . Aquí, refleja el comportamiento de la cola de la distribución de , en particular, cuando . El proceso límite es un proceso Gaussiano estacionario con la función de covarianza , . Como una aplicación de muestra, construimos un martingala a partir del proceso PSI y establecemos una convergencia de sumas acumulativas normalizadas de tales martingalas i.i.d.