En este trabajo, presentamos un sistema especial de ecuaciones lineales con una matriz simétrica y tridiagonal, cuyo vector solución contiene los valores de la solución analítica de la ecuación diferencial ordinaria (ODE) original en puntos de la malla. Además, presentamos la derivación de un esquema exacto para una malla de rejilla arbitraria y demostramos que su aplicación puede evitar completamente otros errores en la discretización y los métodos numéricos. El método presentado se construye sobre la base de funciones verdes locales especiales, cuyas propiedades especiales proporcionan la posibilidad de invertir el operador diferencial de la ODE. Por lo tanto, los resultados recién obtenidos proporcionan un método de solución general y exacto para la ODE de segundo orden, que también es efectivo para obtener la rejilla arbitraria, condiciones de contorno de Dirichlet y/o Neumann. Tanto los resultados obtenidos como el breve estudio de caso confirman que el uso del esquema exacto es eficiente y directo incluso para ODEs con funciones de discontinuidad.