Sea el espacio de móduli de -fibrados de Higgs sobre una superficie de Riemann compacta de género . Esto admite un sistema llamado sistema integrable de Hitchin, inducido por el mapa de Hitchin, cuyas fibras son variedades de Prym. Además, el automorfismo de trialidad de actúa en , y aquellos fibrados de Higgs que admiten una reducción en el grupo de estructura a son puntos fijos de esta acción. Esto define un mapa de espacios de móduli de fibrados de Higgs . En este trabajo, la acción del automorfismo de trialidad se extiende a una acción en el sistema integrable de Hitchin asociado con . En particular, se verifica que el mapa se restringe a un mapa a nivel de las variedades de Prym inducidas por el mapa de Hitchin. También se proporcionan condiciones necesarias y suficientes para que las variedades de Prym asociadas con los espacios de móduli de y -fibrados de Higgs estén desconectadas. Finalmente, se extraen algunas consecuencias de los resultados anteriores en relación con la geometría de las variedades de Prym involucradas.