En este estudio, discutimos los comportamientos dinámicos y extraemos nuevas soluciones de onda solitaria interesantes de las dos significativas ecuaciones en derivadas parciales no lineales (EDPNL) bien conocidas, a saber, la ecuación de Korteweg-de Vries (KdVE) y la ecuación de la jerarquía de Jaulent-Miodek (JMHE). Esta investigación tiene aplicaciones en reconocimiento de patrones, dinámica de fluidos, redes neuronales, sistemas mecánicos, sistemas ecológicos, teoría de control, sistemas económicos, análisis de bifurcaciones y fenómenos caóticos. Además, el análisis de bifurcaciones y el comportamiento caótico de la KdVE y la JMHE son los principales temas de la presente investigación. Como resultado, en este estudio, obtenemos soluciones de onda viajera exactas muy efectivas con la ayuda del método matemático propuesto, y las soluciones involucran funciones racionales, funciones hiperbólicas y funciones trigonométricas que desempeñan un papel vital en la ilustración y desarrollo de los modelos que involucran la KdVE y la JMHE. Estas nuevas soluciones exactas de onda conducen a la utilización de problemas reales y proporcionan una explicación avanzada de nuestros modelos matemáticos mencionados que aún no teníamos. Algunas de las soluciones obtenidas de las dos ecuaciones se muestran gráficamente con paneles 3D, 2D y de contorno de diferentes formas, como soluciones periódicas, periódicas singulares, onda kink, anti-kink, campana, anti-campana, solitón y soluciones de onda singular. Las soluciones obtenidas en este estudio de nuestras ecuaciones consideradas pueden llevar a la aceptación de nuestro método propuesto, utilizado de manera efectiva para investigar las soluciones de los modelos matemáticos de varios problemas complejos importantes en ciencias naturales e ingeniería.