Estudiamos una clase de ecuaciones diferenciales estocásticas fraccionarias (FSDEs) con coeficientes que pueden no cumplir la condición de crecimiento lineal y un coeficiente de difusión no Lipschitz. Utilizando la transformación de Lamperti, obtenemos condiciones para la positividad de las soluciones de tales ecuaciones. Mostramos que las trayectorias del modelo fraccional CKLS no son necesariamente positivas. Obtenemos la tasa de convergencia casi segura del esquema de aproximación de Euler hacia atrás para las soluciones de las SDEs consideradas. También obtenemos un estimador fuertemente consistente y asintóticamente normal del índice de Hurst para soluciones positivas de FSDEs.