Investigamos la ecuación diferencial abstracta de primer orden semi-lineal, no autónoma. Obtenemos resultados sobre la existencia y unicidad de soluciones suaves -periódicas (periódicas de segundo tipo), asumiendo que satisface las condiciones llamadas Acquistapace-Terreni y que el problema asociado homogéneo tiene una dicotomía integrable. Se presenta un nuevo teorema de composición y más teoremas de regularidad.