Este documento estudia las soluciones periódicas de un sistema polinómico acoplado de cuatro dimensiones con no linealidades homogéneas de grado N, cuyo sistema lineal no perturbado tiene un punto singular central en resonancia de generalización en el origen. Considerando enteros positivos arbitrarios y con y, se detecta la nueva expresión explícita de la función de desplazamiento para el sistema de cuatro dimensiones mediante la introducción de la técnica de integrales trigonométricas de potencia. Luego, se obtienen algunos resultados precisos y detallados en comparación con los trabajos existentes, incluidas la condición de existencia, el número exacto y las condiciones de control de parámetros de las soluciones periódicas, que pueden proporcionar una nueva descripción teórica y explicación del mecanismo para los fenómenos de aparición y desaparición de soluciones periódicas. Los resultados obtenidos en este documento mejoran ciertos resultados existentes bajo algunas condiciones de parámetros y pueden ser ampliamente utilizados en aplicaciones de ingeniería. Para verificar la aplicabilidad y disponibilidad de los nuevos resultados teóricos, como una aplicación, se obtienen las soluciones periódicas de un modelo de antena de malla circular mediante un método teórico y simulaciones numéricas.