Las ecuaciones de movimiento de 4 cuerpos se derivan en nuestro artículo publicado anteriormente. Aquí probamos la existencia y unicidad de una solución periódica aplicando el método de punto fijo para un operador introducido adecuadamente. Para aplicar el teorema del punto fijo, necesitamos derivar desigualdades analíticas apropiadas para los lados derechos de las ecuaciones que aseguren que el operador para soluciones periódicas mapea el conjunto de funciones periódicas en sí mismo. De esta manera, probamos la existencia de las órbitas de Bohr-Sommerfeld para el problema de 4 cuerpos en el caso relativista. Esto nos permite estimar las distancias mínimas entre los electrones en los primeros y segundos estados estacionarios de Bohr-Sommerfeld. Un ejemplo natural de tal problema es el átomo de litio, que tiene tres electrones orbitando el núcleo.