En este trabajo, investigamos un problema de valor límite elíptico perturbado que exhibe un crecimiento crítico caracterizado por una desigualdad de tipo Trudinger-Moser. Nuestro enfoque principal es establecer la existencia de dos soluciones no triviales. Esto se logra mediante la combinación de la desigualdad de tipo Trudinger-Moser y un teorema de enlace basado en el índice -cohomológico. La característica principal y novedosa de este trabajo radica en extender la ecuación a problemas de valor límite -Laplaciano utilizando los métodos mencionados anteriormente. Esta extensión no solo amplía la aplicabilidad de estas técnicas, sino que también enriquece los resultados de investigación en el campo del análisis no lineal.