El propósito de este documento es investigar la existencia y multiplicidad de soluciones no triviales con el -Laplaciano para el problema de valor en la frontera periódico de orden -ésimo discreto. Para respaldar estas conclusiones, hemos empleado técnicas variacionales y teoría contemporánea de puntos críticos. Se amplían y mejoran algunos hallazgos nuevos. Damos un ejemplo para mostrar cómo se pueden aplicar nuestros hallazgos clave.