Cantor consideró los principios de la teoría de conjuntos o los principios intuitivos como formas universales que pueden aplicarse a cualquier totalidad real o posible. Sin embargo, esto es algo que no necesita ser aceptado si existen totalidades que tienen un valor ontológico fundamental y no se ajustan a estos principios. Las dificultades involucradas no están relacionadas con problemas ontológicos, sino con ciertos conjuntos peculiares, incluido el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos, el conjunto de todos los conjuntos y el ordinal de todos los ordinales. Estas totalidades problemáticas para la teoría intuitiva pueden tratarse satisfactoriamente con los axiomas de Zermelo y Fraenkel (ZF) o los axiomas de von Neumann, Bernays y Gödel (NBG), y las concepciones iterativas expresadas en ellos.