Se consideran enfoques para estimar el número de soluciones casi periódicas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Se encuentran condiciones que permiten determinar tanto límites superiores como inferiores para estas soluciones. Se estudia la existencia y estabilidad de problemas casi periódicos. La novedad de este documento radica en el hecho de que el uso de derivadas de aparatos permite reducir las restricciones sobre el grado de suavidad de las partes derechas. En nuestro trabajo, en relación con el número de soluciones periódicas de ecuaciones de primer orden, no requerimos un alto grado de suavidad y no hay restricción sobre la suavidad de la segunda derivada de la ecuación de Schwartz. Hemos levantado todas estas restricciones. Nuestra nueva forma presentada también enfatiza esta novedad.