En el presente trabajo, nos concentramos en una cierta clase de ecuaciones en diferencia no lineales y proponemos condiciones suficientes para la existencia de sus soluciones casi automorfas. En nuestro análisis, invertimos un mapeo apropiado y obtenemos los principales resultados de existencia utilizando el principio del mapeo de contracción. Como segundo objetivo del manuscrito, reconsideramos uno de los resultados emblemáticos, a saber, el teorema de Bohr-Neugebauer, en la teoría cualitativa de las ecuaciones dinámicas, e investigamos la relación entre la existencia de soluciones casi automorfas y la existencia de soluciones con un rango relativamente compacto para el tipo de ecuación en diferencia propuesto. Por lo tanto, proporcionamos un contraparte discreta del teorema de Bohr-Neugebauer debido a la noción de casi automorfismo bajo algunas condiciones técnicas.