Este documento está dedicado al análisis matemático de un marco de teoría cinética termostatizada espacialmente homogénea con un dominio de actividad ilimitado. El marco consiste en una ecuación diferencial parcial con no linealidad cuadrática donde el dominio de la variable de actividad es toda la recta real. Específicamente, el análisis matemático se refiere en primer lugar a la existencia y unicidad de la solución para el problema de valor inicial relacionado; en segundo lugar, las investigaciones se dirigen a la existencia de una clase de soluciones auto-similares empleando el método de la transformada de Fourier. En particular, el resultado principal se obtiene para una tasa de interacción no constante y un campo de fuerza no constante. Conclusiones y perspectivas se discuten en la última sección del documento.