Consideramos los problemas de dos cuerpos en la esfera conformal bidimensional, con un radio . Empleamos un potencial alternativo libre de singularidades en puntos antipodales. Estudiamos el límite de los equilibrios relativos bajo la simetría SO(2); examinamos las condiciones específicas bajo las cuales un par de partículas de masa positiva, situadas en puntos antipodales, pueden mantener un estado de equilibrio relativo mientras se desplazan a lo largo de una geodésica. Se identifica que, bajo una relación apropiada entre radio y masa, estas partículas experimentan un movimiento libre e irrestricto alineado con la geodésica del campo vectorial canónico de Killing en . Un número par de cuerpos con posiciones conjugadas por pares, dispuestos en un polígono regular, todos con la misma masa , se mueven libremente en una geodésica con velocidades adecuadas, donde este movimiento geodésico se comporta como un equilibrio relativo. También se incluye una fórmula de centro de masa. Se encuentra una relación para el equilibrio relativo en el problema de dos cuerpos en la esfera similar a la ley de Snell.