El modelo de ecuación diferencial del Laplaciano fraccional es una herramienta poderosa para describir problemas turbulentos en medios porosos viscoelásticos. El estudio de tales modelos ayuda a revelar el comportamiento dinámico de la turbulencia. Por lo tanto, este artículo se ocupa principalmente del problema de valor límite periódico (BVP) para una clase de ecuación diferencial fraccional de Hadamard no lineal con operador del Laplaciano. Por virtud de un importante teorema de punto fijo en un espacio métrico completo con dos distancias, estudiamos la solubilidad y la aproximación de este BVP. Basándonos en métodos de análisis no lineal, discutimos además la estabilidad generalizada Ulam-Hyers (GUH) de este problema. Finalmente, proporcionamos dos ejemplos y simulaciones para verificar la corrección y disponibilidad de nuestros principales resultados. En comparación con muchos estudios previos, nuestro enfoque permite que la solución del sistema exista en el espacio métrico en lugar del espacio normado. En resumen, obtenemos algunas condiciones suficientes para la existencia, unicidad y estabilidad de soluciones en el espacio métrico.