Presentamos un método novedoso de elementos finitos para resolver las variables térmicas en problemas de soldadura. El modelo matemático se basa en la formulación de entalpía de la ley de conservación de energía, que es simultáneamente válida para las regiones sólida, líquida y pastosa. Se consideran modelos de fusión isotérmica y no isotérmica para relacionar la entalpía con la temperatura. Se emplean elementos triangulares cuadráticos con adaptación de malla anisotrópica local para la discretización espacial de la ecuación gobernante, y se emplea una fórmula de diferenciación hacia atrás de segundo orden para la discretización temporal. El sistema discretizado no lineal resultante se resuelve con un algoritmo de Newton simple con dos versiones: el algoritmo de Newton, que considera la temperatura como la variable desconocida principal, como en la mayoría de los trabajos en la literatura, y el algoritmo de Newton, que considera la entalpía, que es la principal novedad del presente trabajo. Luego, mostramos a través de experimentos numéricos que el método de Newton es robusto y converge bien a la solución, tanto para la fusión isotérmica como no isotérmica. Sin embargo, el método solo se puede aplicar al caso de fusión no isotérmica y converge solo para un rango de temperatura de fusión lo suficientemente grande o un paso de tiempo lo suficientemente pequeño. Los experimentos numéricos también confirman que el método es capaz de capturar adecuadamente las discontinuidades o variaciones bruscas en la solución sin necesidad de ningún tipo de disipación numérica.