Este trabajo está dedicado a la obtención de un nuevo esquema numérico basado en fórmulas de cuadratura para la integral de Lebesgue-Stieltjes para la aproximación de ecuaciones diferenciales ordinarias de Stieltjes. Este novedoso método nos permite aproximar numéricamente modelos basados en ecuaciones diferenciales ordinarias de Stieltjes para las cuales no se conoce una solución explícita. Demostramos varios resultados teóricos relacionados con la consistencia, convergencia y estabilidad del método numérico. También obtenemos la solución explícita de la ecuación diferencial ordinaria lineal de Stieltjes y la utilizamos para validar el método numérico. Finalmente, presentamos algunos resultados numéricos que hemos obtenido para un modelo de población realista basado en una ecuación diferencial de Stieltjes y un sistema de ecuaciones diferenciales de Stieltjes con varios derivadores.