Se considera el problema de Cauchy integro-diferencial con inhomogeneidad exponencial y con un valor espectral que se anula en un punto aislado del segmento de la variable independiente. El problema pertenece a la clase de ecuaciones singularmente perturbadas con un espectro inestable y no ha sido considerado antes en presencia de un operador integral. Una dificultad particular es su investigación en las cercanías del valor espectral cero de la inhomogeneidad. Aquí, no es posible aplicar el procedimiento bien conocido del método de regularización de Lomov, por lo que los autores han elegido el método de construcción de la solución asintótica del problema inicial basado en el uso de la solución asintótica regularizada de la solución fundamental de la ecuación homogénea correspondiente cuya construcción desde las posiciones del método de regularización no ha sido considerada hasta ahora. En el caso de un espectro inestable, es necesario tener en cuenta sus características puntuales. En este caso, la inhomogeneidad juega un papel esencial. Afecta significativamente al tipo de singularidades en la solución del problema inicial. La solución fundamental nos permite construir asintóticas independientemente de la naturaleza de la inhomogeneidad (puede ser tanto lentamente cambiante como rápidamente cambiante, por ejemplo, rápidamente oscilante). El enfoque desarrollado en el documento es universal con respecto a cualquier inhomogeneidad. La primera parte del estudio desarrolla un algoritmo para el método de regularización para construir la asintótica (de cualquier orden en el parámetro) de la solución fundamental de la ecuación integro-diferencial homogénea correspondiente. La segunda parte está dedicada a construir la asintótica de la solución del problema original. Se construye en detalle el término asintótico principal, y se señala la posibilidad de construir sus términos superiores. En el caso de un espectro estable, podemos construir asintóticas regularizadas sin utilizar una solución fundamental.